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3変数ガロア標準形

式(12)を観察すると、つぎのようことが分かる。

第1項の$ f(0, 0)$は、変数$ x$$ y$の両方とも存在しないので、関数の変数位置 (引数)には0と0が入る。

第2項の$ f(0, 0)$$ f(1, 0)$は、変数$ x$が存在するので展開範囲の0と$ 1$が引 数になり、変数$ y$は存在しないので0が引数になる。

第3項の$ f(0, 0)$$ f(0, 1)$は、変数$ y$が存在するので展開範囲の0と$ 1$が引 数になり、変数$ x$は存在しないので0が引数になる。

第4項の$ f(0, 0)$$ f(0, 1)$$ f(1, 0)$$ f(1, 1)$は、変数$ x$$ y$の両方と も存在するので、全ての展開範囲の $ (0,0), (0,1), (1,0), (1, 1)$が引数にな る。

このような観察から3変数$ (x,y,z)$の論理関数 $ f(x, y, z)$は、次のように展 開されることが予測される。

$\displaystyle f(x, y,z)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(0, 0, 0) \oplus$  
    $\displaystyle x\{f(0, 0, 0) \oplus f(1, 0, 0)\} \oplus$  
    $\displaystyle y\{f(0, 0, 0) \oplus f(0, 1, 0)\} \oplus$  
    $\displaystyle z\{f(0, 0, 0) \oplus f(0, 0, 1)\} \oplus$  
    $\displaystyle xy\{f(0, 0, 0) \oplus f(0, 1, 0) \oplus f(1, 0, 0) \oplus f(1, 1, 0)\} \oplus$  
    $\displaystyle yz\{f(0, 0, 0) \oplus f(0, 0, 1) \oplus f(0, 1, 0) \oplus f(0, 1, 1)\} \oplus$  
    $\displaystyle xz\{f(0, 0, 0) \oplus f(0, 0, 1) \oplus f(1, 0, 0) \oplus f(1, 0, 1)\} \oplus$  
    $\displaystyle xyz\{f(0, 0, 0) \oplus f(0, 0, 1) \oplus$  
    $\displaystyle \quad \quad f(0, 1, 0) \oplus f(0, 1, 1) \oplus$  
    $\displaystyle \quad \quad f(1, 0, 0) \oplus f(1, 0, 1) \oplus$  
    $\displaystyle \quad \quad f(1, 1, 0) \oplus f(1, 1, 1) \}$ (14)

念のため式(14)が正しいことを確かめておく。

$ f(x, y, z)$$ x$について展開すると次のようになる。

$\displaystyle f(x, y,z)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sim x f(0, y, z) \oplus x f(1, y, z)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle (1 \oplus x) f(0, y, z) \oplus x f(1, y, z)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle f(0, y, z) \oplus x f(0, y, z) \oplus x f(1, y, z)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle f(0, y, z) \oplus x \{f(0, y, z) \oplus f(1, y, z) \}$ (15)

式(15)における $ f(0, y, z)$ $ f(1, y, z)$は2変数$ (y, z)$の 論理関数として直接式(12)を適用できるが、段階を追って見ていき たいので、1変数づつ式(4)を適用していくことにする。

$ f(0, y, z)$ $ f(1, y, z)を$$ y$について展開すると、つぎのようになる。

$\displaystyle \left. \begin{array}{lll} f(0, y, z) & = & f(0, 0, z) \oplus y\{f...
... & = & f(1, 0, z) \oplus y\{f(1, 0, z) \oplus f(1, 1, z)\} \end{array} \right\}$ (16)

式(16)の各項をさらに$ z$について展開すれば次のようになる。

$\displaystyle \left. \begin{array}{lll} f(0, 0, z) & = & f(0, 0, 0) \oplus z\{f...
... & = & f(1, 1, 0) \oplus z\{f(1, 1, 0) \oplus f(1, 1, 1)\} \end{array} \right\}$ (17)

式(17)を式(16)に代入し、さらにその結果を式 (15)に代入して、整理すれば式(14)になる。

式(14)を式(3)のガロア標準形の形式に整える。

$\displaystyle f(x, y,z)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle g_0 \oplus g_1 x \oplus g_2 y \oplus g_3 z$  
    $\displaystyle \quad \oplus g_{12}xy \oplus g_{23}yz \oplus g_{13}xz$  
    $\displaystyle \quad \oplus g_{123}xyz$  
$\displaystyle f(x, y,z)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(0, 0, 0)$  
    $\displaystyle \oplus \{f(0, 0, 0) \oplus f(1, 0, 0)\}x$  
    $\displaystyle \oplus \{f(0, 0, 0) \oplus f(0, 1, 0)\}y$  
    $\displaystyle \oplus \{f(0, 0, 0) \oplus f(0, 0, 1)\}z$  
    $\displaystyle \oplus \{f(0, 0, 0) \oplus f(0, 1, 0) \oplus f(1, 0, 0) \oplus f(1, 1, 0)\}xy$  
    $\displaystyle \oplus \{f(0, 0, 0) \oplus f(0, 0, 1) \oplus f(0, 1, 0) \oplus f(0, 1, 1)\}yz$  
    $\displaystyle \oplus \{f(0, 0, 0) \oplus f(0, 0, 1) \oplus f(1, 0, 0) \oplus f(1, 0, 1)\}xz$  
    $\displaystyle \oplus \{f(0, 0, 0) \oplus f(0, 0, 1)$  
    $\displaystyle \oplus f(0, 1, 0) \oplus f(0, 1, 1)$  
    $\displaystyle \oplus f(1, 0, 0) \oplus f(1, 0, 1)$  
    $\displaystyle \oplus f(1, 1, 0) \oplus f(1, 1, 1) \}xyz$ (18)

式(18)は、3変数論理関数のガロア標準形である。
係数はつぎのような関係になる。
$\displaystyle g_0$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(0, 0, 0)$  
$\displaystyle g_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(0, 0, 0) \oplus f(1, 0, 0)$  
$\displaystyle g_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(0, 0, 0) \oplus f(0, 1, 0)$  
$\displaystyle g_3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(0, 0, 0) \oplus f(0, 0, 1)$  
$\displaystyle g_{12}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(0, 0, 0) \oplus f(0, 1, 0) \oplus f(1, 0, 0) \oplus f(1, 1, 0)$  
$\displaystyle g_{23}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(0, 0, 0) \oplus f(0, 0, 1) \oplus f(0, 1, 0) \oplus f(0, 1, 1)$  
$\displaystyle g_{13}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(0, 0, 0) \oplus f(0, 0, 1) \oplus f(1, 0, 0) \oplus f(1, 0, 1)$  
$\displaystyle g_{123}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(0, 0, 0) \oplus f(0, 0, 1) \oplus f(0, 1, 0) \oplus f(0, 1, 1)$  
    $\displaystyle \oplus f(1, 0, 0) \oplus f(1, 0, 1) \oplus f(1, 1, 0) \oplus f(1, 1, 1)$  


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MANOME Yoichi 平成17年7月6日