2変数ガロア標準形

2変数$(x,y)$の論理関数$f(x, y)$の場合は次のようになる。

$$f(x, y) = \sim xf(0, y) \lor xf(1, y)$$

$$= \sim xf(0, y) \oplus xf(1, y) \oplus \sim xf(0, y)xf(1, y)$$

$$= \sim xf(0, y) \oplus xf(1, y)$$

$$= (1 \oplus x)f(0, y) \oplus xf(1, y)$$

$$= f(0, y) \oplus xf(0, y) \oplus xf(1, y)$$

$$= f(0, y) \oplus x \{f(0, y) \oplus f(1, y)\}$$ (6)

式(6)は$f(x, y)$の$y$を定数と考えた1変数$(x)$の関数と考え て式(4)を直接適用しても求められる。

式(6)をそのまま展開していくと複雑になるので、$f(0, y)$と $f(1, y)$を別々に展開して、式(6)に戻すことにする。

$f(0, y)$は1変数の論理関数なので式(4)より、次のようになる。

$$f(0, y) = f(0, 0) \oplus y\{f(0, 0) \oplus f(0, 1)\}$$ (7)

同様に$f(1, y)$を展開すると、次のようになる。

$$f(1, y) = f(1, 0) \oplus y\{f(1, 0) \oplus f(1, 1)\}$$ (8)

最初に式(6)の右辺第2項における $f(0,y) \oplus f(1,y)$の部分を求めておく。 そのためには式(7)と式(8)の右辺を代入すればよい。

$${ f(0, y) \oplus f(1, y)}$$

$$= f(0, 0) \oplus y\{f(0, 0) \oplus f(0, 1)\} \oplus$$

$$f(1, 0) \oplus y\{f(1, 0) \oplus f(1, 1)\}$$

$$= f(0, 0) \oplus yf(0, 0) \oplus yf(0, 1) \oplus$$

$$f(1, 0) \oplus yf(1, 0) \oplus yf(1, 1)$$ (9)

式(6)の右辺第2項にするために、この式(9)を$x$倍(論 理積)する。

$${ x\{f(0, 0) \oplus yf(0, 0) \oplus yf(0, 1) \oplus }$$

$${ f(1, 0) \oplus yf(1, 0) \oplus yf(1, 1)\} }$$

$$= xf(0, 0) \oplus xyf(0, 0) \oplus xyf(0, 1) \oplus$$

$$xf(1, 0) \oplus xyf(1, 0) \oplus xyf(1, 1)$$ (10)

この式(10)に式(7)を加えれば(排他的論理和)、式 (6)の右辺、すなわち$f(x, y)$を展開したものになる。

$$f(x, y) = xf(0, 0) \oplus xyf(0, 0) \oplus xyf(0, 1) \oplus$$

$$xf(1, 0) \oplus xyf(1, 0) \oplus xyf(1, 1) \oplus$$

$$f(0, 0) \oplus y\{f(0, 0) \oplus f(0, 1)\}$$ (11)

式(11)を整理すると、つぎのようになる。

$$f(x, y) = f(0, 0) \oplus$$

$$x\{f(0, 0) \oplus f(1, 0)\} \oplus$$

$$y\{f(0, 0) \oplus f(0, 1)\} \oplus$$

$$xy\{f(0, 0) \oplus f(0, 1) \oplus f(1, 0) \oplus f(1, 1)\}$$ (12)

式(12)を式(2)のガロア標準形の形式に整える。

$$f(x, y) = g_0 \oplus g_1 x \oplus g_2 y \oplus g_{12}xy$$

$$f(x, y) = f(0, 0)$$

$$\oplus \{f(0, 0) \oplus f(1, 0)\}x$$

$$\oplus \{f(0, 0) \oplus f(0, 1)\}y$$

$$\oplus \{f(0, 0) \oplus f(0, 1) \oplus f(1, 0) \oplus f(1, 1)\}xy$$ (13)

式(13)は、2変数論理関数のガロア標準形である。
係数はつぎのような関係になる。

$$g_0 = f(0, 0)$$

$$g_1 = f(0, 0) \oplus f(1, 0)$$

$$g_2 = f(0, 0) \oplus f(0, 1)$$

$$g_{12} = f(0, 0) \oplus f(0, 1) \oplus f(1, 0) \oplus f(1, 1)$$