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ブール微分

ブール微分とは、次のように定義したものである。
$\displaystyle {\frac {\partial f(x_1, x_2, x_3, \ldots , x_n)}{\partial x_1}}$
  $\displaystyle =$ $\displaystyle f(0, x_2, x_3, \ldots , x_n) \oplus f(1, x_2, x_3, \ldots , x_n)$ (19)

2次のブール微分は次のようになる。

$\displaystyle {\frac {\partial}{\partial x_2} \left(\frac{\partial f(x_1, x_2, x_3, \ldots , x_n)}{\partial x_1}\right)}$
  $\displaystyle =$ $\displaystyle f(0, 0, x_3, \ldots , x_n) \oplus f(0, 1, x_3, \ldots , x_n) \oplus$  
    $\displaystyle f(1, 0, x_3, \ldots , x_n) \oplus f(1, 1, x_3, \ldots , x_n)$ (20)

排他的論理和の演算では結合則が成立するのでブール微分の順番には関係なく微 分結果が得られる。そこで次のように簡略化した表記法をとる。

$\displaystyle {\frac {\partial}{\partial x_2} \left(\frac{\partial f(x_1, x_2, x_3, \ldots , x_n)}{\partial x_1}\right)}$
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\partial^2 f(x_1, x_2, x_3, \ldots , x_n)}{\partial x_2 \partial x_1}$ (21)

この表記法により3次微分は次のようになる。


$\displaystyle { \frac{\partial^3 f(x_1, x_2, x_3, \ldots , x_n)}{\partial x_3 \partial x_2 \partial x_1}}$
  $\displaystyle =$ $\displaystyle f(0, 0, 0, \ldots , x_n) \oplus f(0, 0, 1, \ldots , x_n) \oplus$  
    $\displaystyle f(0, 1, 0, \ldots , x_n) \oplus f(0, 1, 1, \ldots , x_n) \oplus$  
    $\displaystyle f(1, 0, 0, \ldots , x_n) \oplus f(1, 0, 1, \ldots , x_n) \oplus$  
    $\displaystyle f(1, 1, 0, \ldots , x_n) \oplus f(1, 1, 1, \ldots , x_n)$ (22)

ブール微分の記法を使えば式(14)は、次のように表記できる。

$\displaystyle f(x, y,z)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(0, 0, 0) \oplus$  
    $\displaystyle x \frac{\partial f(x, 0, 0)}{\partial x} \oplus$  
    $\displaystyle y \frac{\partial f(0, y, 0)}{\partial y} \oplus$  
    $\displaystyle z \frac{\partial f(0, 0, z)}{\partial z} \oplus$  
    $\displaystyle xy \frac{\partial^2 f(x, y, 0)}{\partial x \partial y} \oplus$  
    $\displaystyle yz \frac{\partial^2 f(0, y, z)}{\partial y \partial z} \oplus$  
    $\displaystyle xz \frac{\partial^2 f(x, 0, z)}{\partial x \partial z} \oplus$  
    $\displaystyle xyz \frac{\partial^3 f(x, y, z)}{\partial x \partial y \partial z}$ (23)


$\displaystyle f(x, y,z)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left. f(x, y, z) \right\vert _{x=0,\; y=0, \; z=0} \oplus$  
    $\displaystyle x \left. \frac{\partial f(x, y, z)}{\partial x} \right\vert _{y =0, \; z=0} \oplus$  
    $\displaystyle y \left. \frac{\partial f(x, y, z)}{\partial y} \right\vert _{x =0, \; z=0} \oplus$  
    $\displaystyle z \left. \frac{\partial f(x, y, z)}{\partial z} \right\vert _{x =0, \; y=0} \oplus$  
    $\displaystyle xy \left. \frac{\partial^2 f(x, y, z)}{\partial x \partial y} \right\vert _{z =0} \oplus$  
    $\displaystyle yz \left. \frac{\partial^2 f(x, y, z)}{\partial y \partial z} \right\vert _{x =0} \oplus$  
    $\displaystyle xz \left. \frac{\partial^2 f(x, y, z)}{\partial x \partial z} \right\vert _{y =0} \oplus$  
    $\displaystyle xyz \frac{\partial^3 f(x, y, z)}{\partial x \partial y \partial z}$ (24)


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MANOME Yoichi 平成17年7月6日