ブール微分

ブール微分とは、次のように定義したものである。

$${\frac {\partial f(x_1, x_2, x_3, \ldots , x_n)}{\partial x_1}}$$

$$= f(0, x_2, x_3, \ldots , x_n) \oplus f(1, x_2, x_3, \ldots , x_n)$$ (19)

2次のブール微分は次のようになる。

$${\frac {\partial}{\partial x_2} \left(\frac{\partial f(x_1, x_2, x_3, \ldots , x_n)}{\partial x_1}\right)}$$

$$= f(0, 0, x_3, \ldots , x_n) \oplus f(0, 1, x_3, \ldots , x_n) \oplus$$

$$f(1, 0, x_3, \ldots , x_n) \oplus f(1, 1, x_3, \ldots , x_n)$$ (20)

排他的論理和の演算では結合則が成立するのでブール微分の順番には関係なく微 分結果が得られる。そこで次のように簡略化した表記法をとる。

$${\frac {\partial}{\partial x_2} \left(\frac{\partial f(x_1, x_2, x_3, \ldots , x_n)}{\partial x_1}\right)}$$

$$= \frac{\partial^2 f(x_1, x_2, x_3, \ldots , x_n)}{\partial x_2 \partial x_1}$$ (21)

この表記法により3次微分は次のようになる。

$${ \frac{\partial^3 f(x_1, x_2, x_3, \ldots , x_n)}{\partial x_3 \partial x_2 \partial x_1}}$$

$$= f(0, 0, 0, \ldots , x_n) \oplus f(0, 0, 1, \ldots , x_n) \oplus$$

$$f(0, 1, 0, \ldots , x_n) \oplus f(0, 1, 1, \ldots , x_n) \oplus$$

$$f(1, 0, 0, \ldots , x_n) \oplus f(1, 0, 1, \ldots , x_n) \oplus$$

$$f(1, 1, 0, \ldots , x_n) \oplus f(1, 1, 1, \ldots , x_n)$$ (22)

ブール微分の記法を使えば式(14)は、次のように表記できる。

$$f(x, y,z) = f(0, 0, 0) \oplus$$

$$x \frac{\partial f(x, 0, 0)}{\partial x} \oplus$$

$$y \frac{\partial f(0, y, 0)}{\partial y} \oplus$$

$$z \frac{\partial f(0, 0, z)}{\partial z} \oplus$$

$$xy \frac{\partial^2 f(x, y, 0)}{\partial x \partial y} \oplus$$

$$yz \frac{\partial^2 f(0, y, z)}{\partial y \partial z} \oplus$$

$$xz \frac{\partial^2 f(x, 0, z)}{\partial x \partial z} \oplus$$

$$xyz \frac{\partial^3 f(x, y, z)}{\partial x \partial y \partial z}$$ (23)

$$f(x, y,z) = \left. f(x, y, z) \right\vert _{x=0,\; y=0, \; z=0} \oplus$$

$$x \left. \frac{\partial f(x, y, z)}{\partial x} \right\vert _{y =0, \; z=0} \oplus$$

$$y \left. \frac{\partial f(x, y, z)}{\partial y} \right\vert _{x =0, \; z=0} \oplus$$

$$z \left. \frac{\partial f(x, y, z)}{\partial z} \right\vert _{x =0, \; y=0} \oplus$$

$$xy \left. \frac{\partial^2 f(x, y, z)}{\partial x \partial y} \right\vert _{z =0} \oplus$$

$$yz \left. \frac{\partial^2 f(x, y, z)}{\partial y \partial z} \right\vert _{x =0} \oplus$$

$$xz \left. \frac{\partial^2 f(x, y, z)}{\partial x \partial z} \right\vert _{y =0} \oplus$$

$$xyz \frac{\partial^3 f(x, y, z)}{\partial x \partial y \partial z}$$ (24)