排他的論理和による展開定理

最初に内包的論理和を排他的論理和で表現してみる。

$$x \lor y = \sim \sim (x \lor y)$$

$$= \sim (\sim x \sim y)$$

$$= 1 \oplus (\sim x \sim y)$$

$$= 1 \oplus (1 \oplus x) \sim y$$

$$= 1 \oplus (1 \oplus x) (1 \oplus y)$$

$$= 1 \oplus \{(1 \oplus x)\cdot 1 \oplus (1 \oplus x)y\}$$

$$= 1 \oplus \{(1 \oplus x) \oplus (y \oplus xy)\}$$

$$= 1 \oplus (1 \oplus x \oplus y \oplus xy)$$

$$= 1 \oplus 1 \oplus x \oplus y \oplus xy$$

$$= 0 \oplus x \oplus y \oplus xy$$

$$= x \oplus y \oplus xy$$

$$\therefore \quad x \lor y = x \oplus y \oplus xy$$

余談になるが、この結果は0と$1$を論理値でなく、次のように数値と考えたときの論理和の表現と似ている。

$$x \lor y = x + y - xy$$

   数値計算例：$$\quad 1 \lor 1 = 1 + 1 - 1\cdot1 = 2 - 1 = 1$$

このように$\oplus$は数値計算の引き算にも対応するので、論理差とか環和と呼ばれることもある。

数値計算に対応した表現は、つぎのような引き算の絶対値になる。

$$x \oplus y = \vert x - y\vert$$

   数値計算例：$$\quad 0 \oplus 1 = \vert - 1\vert = \vert -1 \vert = 1$$