排他的論理和(Exclusive OR)の性質

二つの論理変数$x,\ y$における論理演算記号$\oplus$は、次のような意味を持つ。

$$x \oplus y = \sim (x \leftrightarrow y)$$

これは $x \leftrightarrow y= 1$のとき、 $x \oplus y = 0$になり、同値でないと き、すなわち、 $x \leftrightarrow y= 0$のとき、 $x \oplus y = 1$になること を示している。

同じことをを数学記号の等号、不等号を使って考えると次のようになる。

$x = y$のとき $x \oplus y = 0$になり、また、$x \neq y$のとき $x \oplus y = 1$になる。

これを論理定数の0と$1$の関係で示せば、次のようになる。

$$0 \oplus 0 = 0$$

$$0 \oplus 1 = 1$$

$$1 \oplus 0 = 1$$

$$1 \oplus 1 = 0$$

次の関係が成立する。

$$\quad x \oplus y = y \oplus x$$ 交換律:

$$\quad x \oplus (y \oplus z) = (x \oplus y) \oplus z$$ 結合律:

$$\quad a \cdot (x \oplus y) = a \cdot x \oplus a \cdot y$$ 分配律:

論理計算では次の関係がよく使われる。

$$x \oplus x =$$ 0

$$\quad x \oplus 0 = x$$

$$\sim x \oplus x = 1$$

$$\quad \sim x = 1 \oplus x \quad$$

直感的には移項であるが、実際は両辺に$x$を加算$(\oplus)$している。

そのほかに次のような関係が成立する。

$$xy \oplus yz \oplus zx = xy \lor yz \lor zx$$

$$= xy \lor z(x \oplus y)$$