ガロア標準形演算

次の真理値表をガロア標準形に表現しなさい。

x	y	f(x, y)
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

$$f(0, 0) = 0$$

$$f(0, 1) = 1$$

$$f(1, 0) = 1$$

$$f(1, 1) = 0$$

式(13)に示した次の式に代入する。

$$f(x, y) = f(0, 0)$$

$$\oplus \,\{f(0, 0) \oplus f(1, 0)\}x$$

$$\oplus \,\{f(0, 0) \oplus f(0, 1)\}y$$

$$\oplus \,\{f(0, 0) \oplus f(0, 1) \oplus f(1, 0) \oplus f(1, 1)\}xy$$

$$f(x, y) =$$ 0

$$\oplus \,(0 \oplus 1 )x$$

$$\oplus \,(0 \oplus 1 )y$$

$$\oplus \,(0 \oplus 1 \oplus 1 \oplus 0)xy$$

$$f(x, y) =$$ 0

$$\oplus \, 1\,x$$

$$\oplus \,1\,y$$

$$\oplus \,0\,xy$$

$$= x \oplus y$$

別解

加法標準形から求める。

真理値表から、次の加法標準形が求まる。

$${f(x, y)}$$

$$= f(0, 0)\sim x \sim y \lor f(0, 1)\sim xy \lor f(1, 0)x \sim y \lor f(1, 1)xy$$

$$= 0 \sim x \sim y \lor 1 \sim xy \lor 1 x \sim y \lor 0 xy$$

$$= \sim xy \lor x \sim y$$ (25)

式(25)の内包的論理和を直接排他的論理和に変更してから計算す る。

$$\sim xy \lor x \sim y = \sim xy \oplus x \sim y$$

$$= (1 \oplus x)y \oplus x(1 \oplus y)$$

$$= y \oplus xy \oplus x \oplus xy$$

$$= y \oplus x$$

$$= x \oplus y$$