ガロア標準形と加法標準形の対比。

ガロア標準形と加法標準形を対比してみる。
このとき加法標準形の内包的論理和$(\lor)$の記号を排他的論理和$(\oplus)$に 変える。また、加法標準形の関数値の添字を$1$の引数位置で表すことにする。 たとえば、3変数の関数値は次のようになる。

$$f(0, 0, 0) = f_0 \Rightarrow f_0$$

$$f(0, 0, 1) = f_1 \Rightarrow f_3$$

$$f(0, 1, 0) = f_2 \Rightarrow f_2 \quad$$

$$f(0, 1, 1) = f_3 \Rightarrow f_{23}$$

$$f(1, 0, 0) = f_4 \Rightarrow f_1$$

$$f(1, 0, 1) = f_5 \Rightarrow f_{13}$$

$$f(1, 1, 0) = f_6 \Rightarrow f_{12}$$

$$f(1, 1, 1) = f_7 \Rightarrow f_{123}$$

式(1)のガロア標準形と加法標準形を対比してみる。

$$f(x) = g_0 \oplus g_1 x$$

$$f(x) = f_0\sim x \oplus f_1 x$$

否定項$\sim x$を取り除けば、次のように同じ形式になる。

$$f(x) = f_0 \oplus f_1 x$$

同様に、式(2)のガロア標準形と加法標準形を対比してみる。

$$f(x, y) = g_0 \oplus g_1 x \oplus g_2 y \oplus g_{12}xy$$

$$f(x, y) = f_0 \sim x \sim y \oplus f_2 \sim x y \oplus f_1 x \sim y \oplus f_{12} xy$$

否定項$\sim x$と$\sim y$を取り除けば、次のように同じ形式になる。

$$f(x, y) = f_0 \oplus f_1 x \oplus f_2 y \oplus f_{12} xy$$

同様に、式(3)のガロア標準形と加法標準形を対比してみる。

$$f(x, y,z) = g_0 \oplus g_1 x \oplus g_2 y \oplus g_3 z$$

$$\quad \oplus g_{12}xy \oplus g_{23}yz \oplus g_{13}xz$$

$$\quad \oplus g_{123}xyz$$

$$f(x, y,z) = f_0 \sim x \sim y \sim z \oplus f_1 x \sim y \sim z \oplus f_2 \sim x y \sim z \oplus f_3 \sim x \sim y z$$

$$\quad \oplus f_{12} xy \sim z \oplus f_{23} \sim x yz \oplus f_{13} x \sim y z$$

$$\quad \oplus f_{123}xyz$$

否定項$\sim x$と$\sim y$と$\sim z$を取り除けば、次のように同じ形式になる。

$$f(x, y,z) = f_0 \oplus f_1 x \oplus f_2 y \oplus f_3 z$$

$$\quad \oplus f_{12}xy \oplus f_{23}yz \oplus f_{13}xz$$

$$\quad \oplus f_{123}xyz$$

変数を $x, \, y, \, z$でなく、添字で区別した $x_1, \, x_2, \, x_3$で表記す れば見通しよく、書き下すことができる。

$$f(x_1, x_2, x_3) = g_0 \oplus g_1 x_1 \oplus g_2 x_2 \oplus g_3 x_3$$

$$\quad \oplus g_{12}x_1x_2 \oplus g_{23}x_2x_3 \oplus g_{13}x_1x_3$$

$$\quad \oplus g_{123}x_1x_2x_3$$

$$f(x_1, x_2, x_3) = f_0 \sim x_1 \sim x_2 \sim x_3 \oplus f_1 x_1 \sim x_2 \sim x_3$$

$$\quad \oplus f_2 \sim x_1 x_2 \sim x_3 \oplus f_3 \sim x_1 \sim x_2 x_3$$

$$\quad \oplus f_{12} x_1x_2 \sim x_3 \oplus f_{23} \sim x_1 x_2x_3 \oplus f_{13} x_1 \sim x_2 x_3$$

$$\quad \oplus f_{123}x_1x_2x_3$$

否定項を取り除くと関数値の添字と変数の添字が一致する。

$$f(x_1, x_2, x_3) = f_0 \oplus f_1 x_1 \oplus f_2 x_2 \oplus f_3 x_3$$

$$\quad \oplus f_{12} x_1 x_2 \oplus f_{23} x_2 x_3 \oplus f_{13} x_1 x_3$$

$$\quad \oplus f_{123}x_1x_2x_3$$