一元論理代数方程式

1変数の論理関数$f(x)$は展開定理(資料3)により、つぎのように展開される。

$$f(x) = \sim xf(0) \lor xf(1)$$

$$= f(0) \sim x \lor f(1) x$$ (1)

式(1)は加法標準形でもあるので、定義域の$x$が自由に変化したと きに値域の真理値$f(x)$がそれに対応して変化する論理関数の一般形式を表している ことになる。

$f(x)$の真理値を0か1に固定して、そのようになる条件$x$を求めることにすれ ば、論理代数方程式となる。

ここでは、数学の世界の$f(x)=0$と違って$f(x)=1$を考えることにする。これは $f(x)$が真である（成立する）ための条件$x$を求めるからである。

そこで式(1)から一元論理代数方程式の一般形を次のように考えることする。

$$f(0) \sim x \lor f(1) x = 1$$ (2)

この式(2)を一元論理代数方程式として解くことにする。

最初に式(2)を次のように略記する。

$$f_0 \sim x \lor f_1 x = 1$$ (3)

これを$x$について、解くとつぎのようになる。

$$f_0 \sim x \lor f_1 x = \{(\sim x \leftrightarrow f_0) \lor (x \leftrightarrow f_1)\}(f_0 \lor f_1)$$ (4)

$$= \{(x \leftrightarrow \sim f_0) \lor (x \leftrightarrow f_1)\}(f_0 \lor f_1)$$ (5)

この式(5)を一元論理代数方程式の一般解とする。

方程式の解に使われた新しい論理記号 $\leftrightarrow$は、 下に示すように同値であることを表す。 $x \leftrightarrow y$は同値命題 と呼ばれ、「$x$と$y$が同値である(Equivalent)」と読む。 ここでは、数学の等号$x = y$と同じように考えて、「$x$と$y$が同じである」と 言ってもよい。

$$0 \leftrightarrow 0 = 1$$ (6)

$$0 \leftrightarrow 1 =$$ 0 (7)

$$1 \leftrightarrow 0 =$$ 0 (8)

$$1 \leftrightarrow 1 = 1$$ (9)

$$x \leftrightarrow 0 = \sim x$$ (10)

$$x \leftrightarrow 1 = x$$ (11)

論理記号は１年次の教科書「コンピュータ概論」の「論理」(p.202 $\sim$ p.204)を参照すること。

一元論理代数方程式の詳細については3年次の教科書「コンピュータ・システム」の「一元論理代数方程式」(p.109)を参照すること。