展開定理

$f(x) = x$という単純な論理関数を考える。

$f(1) = 1$の両辺に$x$の論理積をとる。

$x \cdot f(1) = x \cdot 1$

$x \cdot f(1) = x \cdot 1 = x = x \cdot x = x \cdot f(x)$

$$xf(x) = xf(1)$$ (1)

$f(0) = 0$の両辺に$\sim x$の論理積をとる。

$\sim x \cdot f(0) = \sim x \cdot 0$

$\sim x \cdot f(0) = \sim x \cdot 0 = 0 = \sim x \cdot x = \sim x \cdot f(x)$

$$\sim x f(x) = xf(0)$$ (2)

式(1)と式(2)は、拡張してつぎのように一般化できる。

$$x_1f(x_1, x_2, x_3, \ldots , x_n) = x_1f(1, x_2, x_3, \ldots , x_n)$$ (3)

$$\sim x_1f(x_1, x_2, x_3, \ldots , x_n) = \sim x_1f(0, x_2, x_3, \ldots , x_n)$$ (4)

また、式(3)と式(4)に双対な次の式も成立する。

$$x_1 \lor f(x_1, x_2, x_3, \ldots , x_n) = x_1 \lor f(0, x_2, x_3, \ldots , x_n)$$ (5)

$$\sim x_1 \lor f(x_1, x_2, x_3, \ldots , x_n) = \sim x_1 \lor f(1, x_2, x_3, \ldots , x_n)$$ (6)

式(3)の系として、次のような式も成立する。

$$xf(x, \sim x, y, \ldots , z) = xf(1, 0, y, \ldots , z)$$ (7)

式(7)は論理関数内の全ての$x$を$1$で置き換え、論理関数内の全 ての$\sim x$を0で置き換えることができることを示している。

このことの単純な例をつぎに示す。

$$x \cdot x = x \cdot 1 = x$$

$$x \cdot \sim x = x \cdot 0 = 0$$

式(5)の系として、次のような式も成立する。

$$x \lor f(x, \sim x, y, \ldots , z) = x \lor f(0, 1, y, \ldots , z)$$ (8)

式(8)は論理関数内の全ての$x$を0で置き換え、論理関数内の全 ての$\sim x$を$1$で置き換えることができることを示している。

このことの単純な例をつぎに示す。

$$x \lor x = x \lor 0 = x$$

$$x \lor \sim x = x \lor 1 = 1$$