論理関数の加法標準形

論理関数を関数値と最小項の論理積で展開表現 したものである。n変数の論理関数は関数値と最小項の論理積の組み 合せの論理和になる。

1変数$(x)$の論理関数の例：

$$f(x) = f(0) \sim x \lor f(1) x$$

$$f(x) = f_0 x^0 \lor f_1 x^1 \qquad (x^0=\sim x, \quad x^1=x)$$

$$f(x) = f_0 m_0 \lor f_1 m_1$$

この式が正しいことは、$x$の取り得る値の0と$1$を代入してみれば分かる。

$$f(x) = f(0) \sim x \lor f(1) x \\$$

上式において、$x$の値を0とすれば、次のように左辺と右辺が等しくなる。

$$f(0) = f(0) \sim 0 \lor f(1) 0$$

$$= f(0) 1 \lor f(1) 0$$

$$= f(0) \lor 0$$

$$= f(0)$$

また、$x$の値を$1$としても、次のように左辺と右辺が等しくなる。

$$f(1) = f(0) \sim 1 \lor f(1) 1$$

$$= f(0) 0 \lor f(1) 1$$

$$= 0 \lor f(1)$$

$$= f(1)$$

従って、 $f(x) = f(0) \sim x \lor f(1) x$という論理関数は$x$の値が0で も$1$でも成立し、全てのばあいを満たしているので、任意の$x$にたいしても成 立していることになる。

この式を指数形式で表記すると、次のようになる。

$$f(x) = \bigvee_{(a) \in B^1} f(a)x^a$$

$B^1$のうち$f(a)＝1$となる$a$に対応する最小項$x^a$が残り、$f(a)=0$ となる$a$に対応する最小項$x^a$は消える。

1変数論理関数$f(x)$を$f(a)=1$となる$a$に対応する最小項だけの論理和 で表現(minterm expression)すると、次のようになる。

$$f(x) = \bigvee_{f(a)=1} x^a$$

$f(0)=1$だけならば $f(x)=x^0=\sim x$ になり、あるいは $f(1)=1$だけなら ば $f(x)=x^1= x$ になる。また、$f(0)$と$f(1)$がともに$1$ならば $f(x)=x^0 \lor x^1 = \sim x \lor x$となる。

2変数$(x, y)$の論理関数の例：

$$f(x, y) = f(0, 0) \sim x \sim y \lor f(0, 1) \sim x y \lor f(1, 0) x \sim y \lor f(1, 1) xy$$

$$f(x, y) = f_0 x^0 y^0 \lor f_1 x^0 y^1 \lor f_2 x^1 y^0 \lor f_3 x^1 y^1$$

$$f(x, y) = f_0 m_0 \lor f_1 m_1 \lor f_2 m_2 \lor f_3 m_3$$

2変数論理関数$f(x, y)$は、最初に$x$だけを変数と考え、$y$ を定数$Y$と考えれば、次のように1変数論理関数のように扱うことができる。

$$f(x, Y) = f(0, Y) \sim x \lor f(1, Y) x \\$$

この式が正しいことは、$x$の取り得る値の0と$1$を代入してみれば分かる。

上式において、$x$の値を0とすれば、次のように左辺と右辺が等しくなる。

$$f(0, Y) = f(0, Y) \sim 0 \lor f(1, Y) 0$$

$$= f(0, Y) 1 \lor f(1, Y) 0$$

$$= f(0, Y) \lor 0$$

$$= f(0, Y)$$

また、$x$の値を$1$としても、次のように左辺と右辺が等しくなる。

$$f(1, Y) = f(0, Y) \sim 1 \lor f(1, Y) 1$$

$$= f(0, Y) 0 \lor f(1, Y) 1$$

$$= 0 \lor f(1, Y)$$

$$= f(1, Y)$$

従って、 $f(x, Y) = f(0, Y) \sim x \lor f(1, Y) x$という論理関数は$x$の値が0で も$1$でも成立し、全てのばあいを満たしているので、任意の$x$にたいしても成 立していることになる。

次にこの式の定数$Y$を変数$y$と考えて展開すれば、次のように2変数論理関数 の展開式が求まる。

$$f(x, y) = f(0, y) \sim x \lor f(1, y) x$$

$$= \left[f(0, 0) \sim x \lor f(1, 0) x \right] \sim y \lor \left[f(0, 1) \sim x \lor f(1, 1) x\right] y$$

$$= \left[f(0, 0) \sim x \sim y \lor f(1, 0) x \sim y\right] \lor \left[f(0, 1) \sim x y \lor f(1, 1) x y \right]$$

$$= f(0, 0) \sim x \sim y \lor f(0, 1) \sim x y \lor f(1, 0) x \sim y \lor f(1, 1) xy$$

これを指数形式で表記すると、次のようになる。

$$f(x, y) = \bigvee_{(a, b) \in B^2} f(a, b) x^a y^b$$

$B^2$のうち $f(a, b)＝1$となる$(a, b)$に対応する最小項$x^a y^b$が残り、 $f(a, b)=0$となる$(a, b)$に対応する最小項$x^a y^b$は消える。

2変数論理関数$f(x, y)$を$f(a, b)=1$となる$(a, b)$に対応する最小項だ けの論理和で表現(minterm expression)すると、次のようになる。

$$f(x, y) = \bigvee_{f(a, b)=1} x^a y^b$$

たとえば、$f(0,1)$と$f(1,0)$と$f(1,1)$が$1$ならば $f(x, y)=x^0 y^1 \lor x^1 y^0 \lor x^1y^1 = \sim x y \lor x \sim y \lor xy$となる。

3変数$(x, y, z)$の論理関数の例：

略記だけを示す。

$$f(x, y, z) = f_0 m_0 \lor f_1 m_1 \lor f_2 m_2 \lor f_3 m_3 \lor f_4 m_4 \lor f_5 m_5 \lor f_6 m_6 \lor f_7 m_7$$

指数形式の表記法では、次のようになる。

$$f(x, y, z) = \bigvee_{(a, b, c) \in B^3} f(a, b, c) x^a y^b z^c$$

$B^3$のうち $f(a, b, c)＝1$となる$(a, b, c)$に対応する最小項 $x^a y^b z^c$ が残り、 $f(a, b, c)=0$となる$(a, b, c)$に対応する最小項 $x^a y^b z^c$は消える。

3変数論理関数 $f(x, y, z)$を $f(a, b, c)=1$となる$(a, b, c)$に対応する最小項表現(minterm expression)にすると、次のようになる。

$$f(x, y, z) = \bigvee_{f(a, b, c)=1} x^a y^b z^c$$

n変数 $(x_1, x_2, x_3, \ldots , x_n)$の論理関数の例：

略記だけを示す。

$$f(x_1, x_2, x_3, \ldots , x_n) = f_0 m_0 \lor f_1 m_1 \lor f_2 m_2 \lor \cdots \lor f_{2^n-1}m_{2^n-1}$$

これは次のような一般式で表現できる。

$$f(x_1, x_2, x_3, \ldots , x_n) = \bigvee_{i=0}^{2^n-1}f_i m_i$$

この一般式が理解しにくいばあいは、つぎのように論理和を数学の加法($+$)と考えればよい。

$$f(x_1, x_2, x_3, \ldots , x_n) = \sum_{i=0}^{2^n-1}f_i m_i$$

指数形式の表記法では、次のようになる。

$$f(x_1, x_2, x_3, \ldots ,x_n) = \bigvee_{(a_1, a_2, a_3, \ldots ,... ...a_2, a_3, \ldots , a_n) x_{1}^{a_1} x_{2}^{a_2} x_{3}^{a_3} \ldots x_{n}^{a_n}$$

$B^n$のうち $f(a_1, a_2, a_3, \ldots ,a_n)=1$となる $(a_1, a_2, a_3, \ldots ,a_n)$に対応する最小項 $x_{1}^{a_1} x_{2}^{a_2} x_{3}^{a_3} \ldots x_{n}^{a_n}$が残り、 $f(a_1, a_2, a_3, \ldots ,a_n)=0$となる $(a_1, a_2, a_3, \ldots ,a_n)$に対応する最小項 $x_{1}^{a_1} x_{2}^{a_2} x_{3}^{a_3} \ldots x_{n}^{a_n}$は消える。

$n$変数論理関数 $f(x_1, x_2, x_3, \ldots ,x_n)$を $f(a_1, a_2, a_3, \ldots ,a_n)=1$となる $(a_1, a_2, a_3, \ldots ,a_n)$に対応する最小項 $x_{1}^{a_1} x_{2}^{a_2} x_{3}^{a_3} \ldots x_{n}^{a_n}$だけで最小項表現(minterm expression)すると次のようになる。

$$f(x_1, x_2, x_3, \ldots ,x_n) = \bigvee_{f(a_1, a_2, a_3, \ldots ,a_n) = 1} x_{1}^{a_1} x_{2}^{a_2} x_{3}^{a_3}, \ldots ,x_{n}^{a_n}$$