論理関数の乗法標準形

論理関数を関数値と最大項の論理和で展開表現 したものである。n変数の論理関数は関数値と最大項の論理和の組み 合せの論理積になる。

1変数$(x)$の論理関数の例：

$$f(x) = \{f(0) \lor x\}\{f(1) \lor \sim x\}$$

$$f(x) = (f_0 \lor x^1)(f_1 \lor x^0)$$

$$f(x) = (f_0 \lor M_1)(f_1 \lor M_0)$$

2変数$(x, y)$の論理関数の例：

$$f(x, y) = \{f(0, 0) \lor x \lor y \} \{f(0, 1) \lor x \lor \sim y \} \{f(1, 0) \lor \sim x \lor y \} \{f(1, 1) \lor \sim x \lor \sim y \} \\$$

$$f(x, y) = (f_0 \lor x^1 \lor y^1)(f_1 \lor x^1 \lor y^0)(f_2 \lor x^0 \lor y^1)(f_3 \lor x^0 \lor y^0)$$

$$f(x, y) = (f_0 \lor M_3)(f_1 \lor M_2)(f_2 \lor M_1)(f_3 \lor M_0)$$

3変数$(x, y, z)$の論理関数の例：

$$f(x, y, z) = \{f(0, 0, 0) \lor x \lor y \lor z\}\{(f(0, 0, 1) \lo... ...\lor y \lor \sim z\} \cdots \{f(1, 1, 1) \lor \sim x \lor \sim y \lor \sim z\}$$

$$f(x, y, z) = (f_0 \lor x^1 \lor y^1 \lor z^1)(f_1 \lor x^1 \lor y... ...z^0)(f_2 \lor x^1 \lor y^0 \lor z^1) \cdots ( f_7 \lor x^0 \lor y^0 \lor z^0)$$

$$f(x, y, z) = (f_0 \lor M_7)(f_1 \lor M_6)(f_2 \lor M_5)(f_3 \lor M_4)(f_4 \lor M_3 )( f_5 \lor M_2 )( f_6 \lor M_1 )( f_7 \lor M_0)$$

n変数 $(x_1, x_2, x_3, \ldots , x_n)$の論理関数の例：

略記だけを示す。

$$f(x_1, x_2, x_3, \ldots , x_n) = (f_0 \lor M_{2^n-1})(f_1 \lor M_{2^n-2})(f_2 \lor M_{2^n-3}) \ldots (f_{2^n-1} \lor M_0)$$

これは次のような一般式にできる。

$$f(x_1, x_2, x_3, \ldots , x_n) = \bigwedge_{i=0}^{2^n-1}(fi \lor M_{2^n-1-i})$$

この一般式が理解しにくいばあいは、つぎのように論理積を数学の乗法($\times$)と考えればよい。

$$f(x_1, x_2, x_3, \ldots , x_n) = \prod_{i=0}^{2^n-1}(fi \lor M_{2^n-1-i})$$

指数形式の表記法では、次のようになる。

$$f(x_1, x_2, \ldots ,x_n) = \bigwedge_{(a_1, a_2, \ldots ,a_n) \in... ...ots , \sim a_n) \lor x_{1}^{a_1} \lor x_{2}^{a_2} \lor \ldots \lor x_{n}^{a_n}$$

または、

$$f(x_1, x_2, \ldots ,x_n) = \bigwedge_{(a_1, a_2, \ldots ,a_n) \in... ... \lor \sim x_{1}^{a_1} \lor \sim x_{2}^{a_2} \lor \ldots \lor \sim x_{n}^{a_n}$$

$B^n$のうち、 $f(a_1, a_2, a_3, \ldots , a_n) ＝0$となるような $(a_1, a_2, a_3, \ldots ,a_n)$に対応 する最大項 $\sim x_{1}^{a_1} \lor \sim x_{2}^{a_2} \lor \sim x_{3}^{a_3} \ldots \lor \sim x_{n}^{a_n}$は残り、当然のことながら $f(a_1, a_2, a_3, \ldots , a_n) ＝1$となるような $(a_1, a_2, a_3, \ldots ,a_n)$に対応する最大項 $\sim x_{1}^{a_1} \lor \sim x_{2}^{a_2} \lor \sim x_{3}^{a_3} \ldots \lor \sim x_{n}^{a_n}$は消える。

$\sim x_{i}^{a_i}$は $x_{i}^{\sim a_i}$であるから、次のように 表すこともできる。

$$f(x_1, x_2, \ldots ,x_n) = \bigwedge_{(a_1, a_2, \ldots ,a_n) \in... ... \lor x_{1}^{\sim a_1} \lor x_{2}^{\sim a_2} \lor \ldots \lor x_{n}^{\sim a_n}$$

$n$変数論理関数 $f(x_1, x_2, x_3, \ldots ,x_n)$を $f(a_1, a_2, a_3, \ldots ,a_n)=0$となる $(a_1, a_2, a_3, \ldots ,a_n)$に対応する最大項 $x_{1}^{a_1} \lor x_{2}^{a_2} \lor x_{3}^{a_3} \lor \ldots \lor x_{n}^{a_n}$だけで最 大項表現(maxterm expression)にすると次のようになる。

$$f(x_1, x_2, x_3, \ldots ,x_n) = \bigwedge_{f(a_1, a_2, a_3, \ldot... ... \lor \sim x_{2}^{a_2} \lor \sim x_{3}^{a_3} \lor \ldots \lor \sim x_{n}^{a_n}$$

個々の最大項のなかでは、$a_i=1$ならば、そのまま否定の $\sim x_{i}$になり、 $a_i=0$ならば肯定の$x_{i}$になる。

$\sim x_{i}^{a_i}$は $x_{i}^{\sim a_i}$であるから、次のように 表すこともできる。

$$f(x_1, x_2, x_3, \ldots ,x_n) = \bigwedge_{f(a_1, a_2, a_3, \ldot... ...\lor x_{2}^{\sim a_2} \lor x_{3}^{\sim a_3} \lor \ldots \lor x_{n}^{\sim a_n}$$