最小項の性質

最小項は直交性を持つ。

$$m_i m_j = 0 \qquad (i \neq j)$$

$$= m_i \qquad (i = j)$$

最小項の否定は最大項となる。

$$\sim m_i = M_{2^n-1-i}$$

最小項の全ての論理和は$1$になる。

1変数$(x)$の例:

$$\sim x \lor x = 1$$

$$x^0 \lor x^1 = 1$$

$$m_0 \lor m_1 = 1$$

2変数$(x, y)$の例:

$$(\sim x \lor x)(\sim y \lor y) = 1 \cdot 1 = 1$$

$$\sim x \sim y \lor \sim x y \lor x \sim y \lor xy = 1$$

$$x^0 y^0 \lor x^0 y^1 \lor x^1 y^0 \lor x^1 y^1 = 1$$

$$m_0 \lor m_1 \lor m_2 \lor m_3 = 1$$

3変数$(x, y, z)$の例:

$$(\sim x \lor x)(\sim y \lor y)(\sim z \lor z) = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$$

$$x^0 y^0 z^0 \lor x^0 y^0 z^1 \lor x^0 y^1 z^0 \lor x^0 y^1 z^1 \lor x^1 y^0 z^0 \lor x^1 y^0 z^1 \lor x^1 y^1 z^0 \lor x^1 y^1 z^1 = 1$$

$$m_0 \lor m_1 \lor m_2 \lor m_3 \lor m_4 \lor m_5 \lor m_6 \lor m_7 = 1$$

これを$n$変数で一般化すると次のようになる。

$$\bigvee_{i=0}^{2^n-1} m_i = 1$$

この一般式が理解しにくいばあいは、つぎのように論理和を数学の加法($+$)と考えればよい。

$$\sum_{i=0}^{2^n-1} m_i = 1$$

● 最小項の論理和で表された論理関数の否定は、原関数（全ての最小項の論理和） に含まれていない最小項の論理和になる。

1変数$(x)$の例：
原関数: $m_0 \lor m_1 = 1$

$$m_0 = \sim x$$

$$m_1 = x$$

$m_0$の否定に対して、残りは$m_1$である。
$\sim m_0 = \sim \sim x = x = m_1$

$m_1$の否定に対して、残りは$m_0$である。
$\sim m_1 = \sim x = m_0$

2変数$(x, y)$の例：
原関数: $m_0 \lor m_1 \lor m_2 \lor m_3 = 1$

$m_0 \lor m_2$の否定に対して、原関数の残りは $m_1 \lor m_3$になる。

$\sim (m_0 \lor m_2) = m_1 \lor m_3$
$\therefore \quad \sim (\sim x \sim y \lor x \sim y) = \sim x y \lor x y$

3変数の例：
原関数: $m_0 \lor m_1 \lor m_2 \lor m_3 \lor m_4 \lor m_5 \lor m_6 \lor m_7 = 1$
$\sim (m_0 \lor m_2 \lor m_4 \lor m_6) = m_1 \lor m_3 \lor m_5 \lor m_7$