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最小項

1.1 次の式を最小項に展開しなさい。

$\displaystyle f(x, y, z) = xy \lor \sim x z $

単位元法で解く

第1項： 足りない変数$ z$の単位元 $ (\sim z \lor z = 1)$を掛ける(論理積)。

$\displaystyle xy$ $\displaystyle =$ $\displaystyle xy(\sim z \lor z)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle xy \sim z \lor xyz$  

第2項： 足りない変数$ y$の単位元 $ (\sim y \lor y = 1)$を掛ける(論理積)。

$\displaystyle \sim xz$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sim xz(\sim y \lor y)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sim xz \sim y \lor \sim xzy$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sim x \sim yz \lor \sim xyz$  


% latex2html id marker 415 $\displaystyle \therefore \quad xy \lor \sim x z$ $\displaystyle =$ $\displaystyle xy \sim z \lor xyz \lor \sim x \sim yz \lor \sim xyz$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle m_6 \lor m_7 \lor m_1 \lor m_3$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle m_1 \lor m_3 \lor m_6 \lor m_7$  

加法標準形法で解く

$\displaystyle f(x, y, z)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle xy\, \lor \sim x z$  
$\displaystyle f(0, 0, 0)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0\cdot0\, \lor \sim 0\cdot 0 = 0$  
$\displaystyle f(0, 0, 1)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0\cdot0\, \lor \sim 0\cdot 1 = 1$  
$\displaystyle f(0, 1, 0)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0\cdot1\, \lor \sim 0\cdot 0 = 0$  
$\displaystyle f(0, 1, 1)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0\cdot1\, \lor \sim 0\cdot 1 = 1$  
$\displaystyle f(1, 0, 0)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1\cdot0\, \lor \sim 1\cdot 0 = 0$  
$\displaystyle f(1, 0, 1)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1\cdot0\, \lor \sim 1\cdot 1 = 0$  
$\displaystyle f(1, 1, 0)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1\cdot1\, \lor \sim 1\cdot 0 = 1$  
$\displaystyle f(1, 1, 1)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1\cdot1\, \lor \sim 1\cdot 1 = 1$  

この関数値を加法標準形に適用する。

$\displaystyle f(x, y, z)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(0,0,0) \sim x \sim y \sim z \lor f(0,0,1)\sim x \sim y z$  
    $\displaystyle \lor f(0,1,0)\sim xy \sim z \lor f(0,1,1)\sim xyz$  
    $\displaystyle \lor f(1,0,0)x \sim y \sim z \lor f(1,0,1)x \sim yz$  
    $\displaystyle \lor f(1,1,0)xy \sim z \lor f(1,1,1)xyz$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 0 \cdot \sim x \sim y \sim z \lor 1 \cdot \sim x \sim y z$  
    $\displaystyle \lor 0 \cdot \sim xy \sim z \lor 1 \cdot \sim xyz$  
    $\displaystyle \lor 0 \cdot x \sim y \sim z 0 \cdot x \sim yz$  
    $\displaystyle \lor 1 \cdot xy \sim z \lor 1 \cdot xyz$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 1 \cdot \sim x \sim yz \lor 1 \cdot \sim xyz \lor 1 \cdot xy \sim z \lor 1 \cdot xyz$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sim x \sim yz \lor \sim xyz \lor xy \sim z \lor xyz$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle m_1 \lor m_3 \lor m_6 \lor m_7$  


加法標準形法に基づくテーブル法で解く

x y z x y $ \sim x$ z f
0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 1 1
0 1 0 0 0 0
0 1 1 0 1 1
1 0 0 0 0 0
1 0 1 0 0 0
1 1 0 1 0 1
1 1 1 1 0 1

fが1になる行の3変数$ (x,y,z)$だけを最小項として、その論理和を作る。 なお、各変数は0のとき否定、1のとき肯定にする。例えば、$ 0\,0\,1$ は $ \sim x \sim y z$となる。

$\displaystyle f(x, y, z)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sim x \sim yz \lor \sim xyz \lor xy \sim z \lor xyz$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle m_1 \lor m_3 \lor m_6 \lor m_7$  


1.2 次の式を最小項に展開しなさい。

$\displaystyle f(x, y, z) = x \lor y \sim z $

単位元法で解く

$\displaystyle x \lor y \sim z$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x(\sim y \lor y)(\sim z \lor z) \lor y \sim z(\sim x \lor x)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle x(\sim y \sim z \lor \sim yz \lor y\sim z \lor yz) \lor (y \sim z \sim x \lor y \sim z x)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle x \sim y \sim z \lor x \sim yz \lor xy\sim z \lor xyz \lor \sim xy \sim z \lor xy \sim z$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle m_4 \lor m_5 \lor m_6 \lor m_7 \lor m_2 \lor m_6$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle m_2 \lor m_4 \lor m_5 \lor m_6 \lor m_7$  

加法標準形法で解く

$\displaystyle f(x, y, z)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x\, \lor y \sim z$  
$\displaystyle f(0, 0, 0)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0\, \lor 0 \, \cdot \sim 0 = 0$  
$\displaystyle f(0, 0, 1)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0\, \lor 0 \, \cdot \sim 1 = 0$  
$\displaystyle f(0, 1, 0)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0\, \lor 1 \, \cdot \sim 0 = 1$  
$\displaystyle f(0, 1, 1)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0\, \lor 1 \, \cdot \sim 1 = 0$  
$\displaystyle f(1, 0, 0)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1\, \lor 0 \, \cdot \sim 0 = 1$  
$\displaystyle f(1, 0, 1)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1\, \lor 0 \, \cdot \sim 1 = 1$  
$\displaystyle f(1, 1, 0)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1\, \lor 1 \, \cdot \sim 0 = 1$  
$\displaystyle f(1, 1, 1)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1\, \lor 1 \, \cdot \sim 1 = 1$  

関数値を略記する。

$\displaystyle f_0$ $\displaystyle =$ 0  
$\displaystyle f_1$ $\displaystyle =$ 0  
$\displaystyle f_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$  
$\displaystyle f_3$ $\displaystyle =$ 0  
$\displaystyle f_4$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$  
$\displaystyle f_5$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$  
$\displaystyle f_6$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$  
$\displaystyle f_7$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$  

この関数値を略記した加法標準形に適用する。

$\displaystyle f(x, y, z)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f_0 m_0 \lor f_1 m_1 \lor f_2 m_2 \lor f_3 m_3 \lor f_4 m_4 \lor f_5 m_5 \lor f_6 m_6 \lor f_7 m_7$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 0 m_0 \lor 0 m_1 \lor 1 m_2 \lor 0 m_3 \lor 1 m_4 \lor 1 m_5 \lor 1 m_6 \lor 1 m_7$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle m_2 \lor m_4 \lor m_5 \lor m_6 \lor m_7$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sim xy \sim z \lor x \sim y \sim z \lor x \sim yz \lor xy \sim z \lor xyz$  


テーブル法で解く

x y z y $ \sim z$ f
0 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 1 0 1 1
0 1 1 0 0
1 0 0 0 1
1 0 1 0 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1

fが1になる行の3変数$ (x,y,z)$だけを最小項として、その和を作る。 なお、各変数は0のとき否定、1のとき肯定にする。例えば、$ 0\,1\,0$ は $ \sim x y \sim z$となる。

       
$\displaystyle f(x, y, z)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sim xy \sim z \lor x \sim y \sim z \lor x \sim yz \lor xy \sim z \lor xyz$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle m_2 \lor m_4 \lor m_5 \lor m_6 \lor m_7$  

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MANOME Yoichi 平成17年6月17日